條件機率(conditional probability)
條件機率用於兩個或多個事件不獨立的情況。這意味著一個事件的發生概率會受到另一事件是否發生的影響。它問的是，「如果我們知道事件A已經發生，那麼事件B也會發生的概率是多少？」它的計算方法是將前一事件的概率乘以後一事件的更新概率。我們會在下面帶你走過計算的過程。
關鍵要點
- 條件機率指的是某個結果（A）發生的概率，在另一事件（B）也發生的前提下計算。在概率論中，這寫作P(A|B)，即事件A的概率取決於事件B的發生。
- 條件機率可以與無條件機率對比。無條件機率是指不依賴於任何其他事件的發生來衡量單個事件的發生機率。
- 概率可以分類為條件概率、邊緣概率（不依賴於其他事件的基礎概率）或聯合概率（兩個事件同時發生的概率）。
- 貝葉斯定理是一個數學公式，可以用來計算條件概率。
理解條件機率
條件機率依賴於先前事件。它衡量一個事件或結果發生的可能性，基於某個早期事件的發生。
如果一個事件的發生或不發生會影響另一事件的可能性，那麼這兩個事件被稱為「依賴事件」。例如，公司的股票價格在報告高於預期的收益後上升。如果事件是獨立的，那麼某些事件B的概率不會受事件A的影響。例如，蘋果股份上漲和小麥價格下跌不相關。
條件機率公式
P(B|A) = P(A and B) / P(A)
或：
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
其中，P代表概率，A代表事件A，B代表事件B。
無條件機率也稱為邊緣概率，它衡量某事件發生的可能性，不考慮任何前提或外部事件。由於這種概率不接受新信息，它保持不變。
條件機率範例
範例1：袋子裡的彈珠
- 理解場景：開始時，您手中有一個包含六個紅色彈珠、三個藍色彈珠和一個綠色彈珠的袋子。總共有10個彈珠。
- 確定事件：
- 事件A：從袋子中抽取一個紅色彈珠
- 事件B：抽取一個不是綠色的彈珠
- 計算事件B的概率：P(B)
事件B是抽取一個不是綠色的彈珠。總共有10個彈珠，其中9個不是綠色：6個紅色和3個藍色。
P(B) = 9/10
- 確定事件A和B的交集：P(A∩B)
事件A和B的交集是抽取一個紅色彈珠，這也不是綠色的。由於所有紅色彈珠都不是綠色，交集簡單來說就是抽取紅色彈珠的事件。
- 計算事件A和B的交集概率：P(A∩B)
P(A∩B) = 6/10 = 3/5
- 計算條件機率：P(A|B)
P(A|B) = (3/5) / (9/10) = 2/3
給定抽取的彈珠不是綠色，抽取紅色彈珠的條件概率為2/3。
範例2：擲公平骰子
- 理解場景：您有一個公平的六面骰子。您想要確定在擲出的數字大於四的條件下，擲出偶數的概率。
- 確定事件：可能的結果（樣本空間）為一至六的數字。從這個列表中，您可以定義兩個事件：
事件A：擲出一個偶數 {2,4,6}
事件B：擲出大於四的數字 {5,6}
- 計算每個事件的概率：P(A)為擲出偶數的概率。共有三個偶數 {2,4,6}，六個可能的結果中的三個。因此，P(A) = 1/2。
P(B)為擲出大於四的數字的概率。共有兩個數字大於四 {5,6} ，六個可能的結果中的兩個。因此，P(B) = 2/3。 - 確定A和B的交集：
事件A和B的交集包括同時滿足這兩個條件的結果。在這個例子中，即是擲出一個偶數且大於四的數字，只有六符合這兩個條件。 - 計算事件A和B的交集概率：P(A∩B) 由於六是唯一的一個結果，因此P(A∩B) = 1/6。
- 計算條件機率：P(B|A)
公式為 P(B|A) = P(A∩B) / P(A)代入公式時得到：P(B|A) = (1/6) / (1/2) = 1/3
這意味著，在已知擲出的數字為偶數的條件下，這個數字大於四的概率為1/3。
範例3：多個條件機率
- 理解場景：假設一名學生申請入讀大學，希望獲得獎學金以及書本和生活津貼。步驟如下：
- 學生想知道被大學錄取的可能性。
- 被錄取後，學生希望獲得學術獎學金。
- 如果可能，學生還希望在獲得獎學金的情況下獲得書本和生活津貼。
- 定義事件：
- 事件A：被大學錄取
- 事件B：被錄取後，獲得獎學金
- 事件C：獲得獎學金後，獲得書本和生活津貼
- 計算事件A的概率：大學每1000個申請者中錄取100人。因此，P(A) = 100/1000 = 0.10 或 10%。
- 計算事件B在已錄取的情況下的概率：每500名錄取的學生中有10人獲得獎學金。因此P(B|A) = 10/500 = 0.02 或 2%。
- 計算被錄取並獲得獎學金的概率：P(A和B) = P(A) × P(B|A) = 0.1 × 0.02 = 0.002 或 0.2%。
- 計算在獲得獎學金的情況下，獲得津貼的概率：50%的獲獎學金學生會獲得津貼。因此，P(C|B) = 0.5 或 50%。
- 計算被錄取、獲得獎學金並獲得津貼的概率：P(A∩B∩C) = P(A) × P(B|A) × P(C|B)= 0.1 × 0.02 × 0.5 = 0.001 或 0.1%。
條件機率與聯合機率和邊緣機率的比較
現在，我們來區分條件機率和其他類型的概率。
條件機率
這次的例子是一副普通的撲克牌。我們定義兩個事件：
- 事件A：抽到一張四
- 事件B：抽到一張紅色的牌
一副標準的撲克牌有52張，分為四種花色（紅心、方塊、黑桃和梅花）。紅心和方塊為紅色，黑桃和梅花為黑色。每種花色有13張牌：Ace，2到10，再加上J、Q和K。
整副牌有26張紅卡，13張紅心和13張方塊。因此，抽到一張紅色牌的概率為 P(B) = 26/52 = 1/2。
紅卡中有紅心四和方塊四。因此，如果要抽到紅卡的話，僅考慮這26張紅卡的子集。
給定已抽到紅卡，抽到四的概率計算如下：
P(A|B) = (紅色四的數量) / (紅卡的總數) = 2/26 = 1/13
邊緣概率
邊緣概率P(A)是單獨事件A發生的概率。它不考慮任何其他事件的發生。
由於事件A是抽到一張四，P(A)通過將四的數量除以整副牌的數量計算：
P(A) = (牌組中的四數量) / (牌組的總數量) = 4/52 = 1/13
聯合概率
聯合概率是兩個或多個事件同時發生的可能性。這表示為P(A∩B)，即A和B事件發生的概率。
假設先前的事件保持不變，即事件A是抽到一張四，而事件B是抽到一張紅卡。我們可以找到同時抽到這兩種卡的聯合概率。
有兩張牌同時滿足這兩個條件，即紅心四和方塊四。因此，抽到一張既是紅卡又是四的聯合概率計算如下：
P(A∩B) = (紅色四的數量) / (牌組的總數量) = 2/52 = 1/26
貝葉斯定理和條件概率
貝葉斯定理用於在處理不確定事件時計算條件概率。在投資中，這可以幫助您根據新的相關數據更新市場結果的概率估計。
例如，假設您希望了解今年標普500指數回報率將為正的概率，給定初步的國內生產總值（GDP）數據。您會用貝葉斯定理開始，考慮指數的歷史回報率以獲得對經濟增長的初步估計。然後，您將使用最新的GDP估計來修正這一概率，提供更為精確的概率評估，整合所有證據隨著年度的進展進行更新。
雖然在數學上有些複雜，但貝葉斯定理非常合乎邏輯——如果投資者發現相關的經濟信息，這些信息對潛在市場回報有影響，則應該整合這些數據以獲得更精確的計算。18世紀的英國牧師託馬斯·貝葉斯創立了這個統計技術，它在需要對不確定條件進行預測的各個領域仍然相當重要。
貝葉斯定理在機器學習中的應用非常廣泛。
什麼是條件概率計算器？
條件概率計算器是一種在線工具，用於計算條件概率。它會提供第一個和第二個事件發生的概率。條件概率計算器可以省去用戶手動計算的麻煩。
概率和條件概率之間有什麼區別？
概率考察一個事件發生的可能性。條件概率則考慮兩個事件之間的關係，考察第二個事件在第一個事件發生的基礎上發生的概率。
什麼是先驗概率？
先驗概率是一個事件在任何數據收集之前發生的概率。它是由先前的信念所決定的概率。先驗概率是貝葉斯統計推論的一部分，因為您可以修正這些信念並從數學上得出後驗概率。
什麼是複合概率？
複合概率試圖確定兩個獨立事件同時發生的可能性。複合概率將第一個事件的概率乘以第二個事件的概率。最常見的例子是擲硬幣兩次，並找出第二次結果是否與第一次相同。
總結
條件概率檢視一個事件在另一個事件發生的基礎上發生的可能性。第二個事件依賴於第一個事件。例如，我們可能想知道某股票在其所在行業的指數上升時價格上升的概率。條件概率計算考慮了第一個事件發生的可能性，以及兩個事件間的重疊程度。