什麼是共變異數 (Covariance)？
共變異數是一種統計工具，用於測量兩個資產回報之間的方向性關係。正的共變異數表示資產回報同方向變動，而負的共變異數則表示資產回報反向變動。
共變異數的計算方法是通過分析回報驚奇（偏離期望回報的標準差）或將兩個隨機變量之間的相關係數乘以每個變量的標準差。
主要要點
- 共變異數是用來確定兩個隨機變量之間的移動方向關係的統計工具。
- 當兩支股票趨向於同時移動時，表示它們有正的共變異數；反之，則為負的共變異數。
- 共變異數不同於相關係數，後者是衡量相關性強度的指標。
- 在現代投資組合理論（MPT）中，共變異數是決定應將哪些證券納入組合的重要工具。
- 通過搭配具有負共變異數的資產，可以降低投資組合的風險和波動性。
理解共變異數
共變異數評估兩個隨機變量的平均值如何共同變動。例如，如果股票A的回報在股票B回報上升時也上升，並且在股票B回報下降時也下降，這兩支股票就被認為具有正的共變異數。在金融領域，共變異數的計算有助於分散證券持有量。
共變異數的計算公式
當分析師有選定股票或基金的價格信息時，可以使用以下公式計算共變異數：
Covariance=∑(Retabc−Avgabc)×(Retxyz−Avgxyz)Sample Size−1\text{Covariance} = \frac{\sum \left( \text{Ret}_{abc} – \text{Avg}_{abc} \right) \times \left( \text{Ret}_{xyz} – \text{Avg}_{xyz} \right)}{\text{Sample Size} – 1}
- Retabc\text{Ret}_{abc} = ABC股票的當日回報
- Avgabc\text{Avg}_{abc} = ABC在該期間的平均回報
- Retxyz\text{Ret}_{xyz} = XYZ股票的當日回報
- Avgxyz\text{Avg}_{xyz} = XYZ在該期間的平均回報
- Sample Size\text{Sample Size} = 取樣天數
共變異數的類型
共變異數公式用來確定兩個變量之間關係的方向，即它們是否趨向於同方向或相反方向移動。正的或負的共變異數值決定了這種關係。
正共變異數
兩個變量之間的正共變異數表示這些變量在同一時間趨向於較高或較低。換句話說，股票一和股票二之間的正共變異數意味著股票一在超過平均值的同時，股票二也超過平均值，反之亦然。當在二維圖上繪製時，數據點會趨向於向上傾斜。
負共變異數
當計算的共變異數小於零時，這表示兩個變量之間有反向關係。換句話說，當股票一的值低於平均值時，股票二的值趨向於高於平均值，反之亦然。
共變異數的應用
共變異數在金融和現代投資組合理論（MPT）中有重要應用。例如，在資本資產定價模型（CAPM）中，用於計算資產預期回報的公式中，共變異數是其中一個關鍵變量貝塔係數的計算成分之一。在CAPM中，貝塔衡量的是與整體市場相比的證券波動性或系統風險；它是一種實用的度量，通過共變異數來衡量投資者對特定證券的風險暴露。
同時，投資組合理論使用共變異數來通過共變異數知情的分散化統計地減少投資組合的整體風險。
持有回報具有相似共變異數的金融資產不提供太多的分散化。因此，一個多樣化的投資組合可能會包含具有不同共變異數的金融資產。
共變異數與方差
共變異數與方差有關，方差是一種衡量數據集中的點在平均值附近分佈的統計度量。方差和共變異數都衡量數據點如何圍繞計算出的平均值分佈。然而，方差衡量的是單一軸上的數據分佈，而共變異數則檢查兩個變量之間的方向性關係。
在金融背景下，共變異數用來檢查不同投資之間的表現。正的共變異數表示兩個資產趨向於同時表現良好，而負的共變異數則表示它們趨向於反向移動。投資者可能會尋找具有負共變異數的投資來幫助他們分散投資組合。
共變異數與相關性
共變異數也不同於相關性，相關性是另一種常用來衡量兩個變量之間關係的統計度量。共變異數測量的是兩個變量之間關係的方向，而相關性測量的是這種關係的強度。這通常通過相關係數來表示，其範圍可以從-1到+1。
雖然共變異數確實測量兩個資產之間的方向性關係，但它並不顯示這種關係的強度；相關係數是這種強度的更合適指標。 一個相關係數被認為是強的如果其值接近+1（正相關）或-1（負相關）。接近零的係數表示兩個變量之間只有微弱的關係。
共變異數計算示例
資本西格瑪符號（Σ）表示所有計算的總和。因此，您需要對每一天進行計算並加總結果。例如，要計算兩支股票之間的共變異數，假設您有一個四天期間的股票價格，使用公式：
Covariance=∑(Retabc−Avgabc)×(Retxyz−Avgxyz)Sample Size−1\text{Covariance} = \frac{\sum \left( \text{Ret}_{abc} – \text{Avg}_{abc} \right) \times \left( \text{Ret}_{xyz} – \text{Avg}_{xyz} \right)}{\text{Sample Size} – 1}
示例數據
| 天數 | ABC回報 | XYZ回報 |
|---|---|---|
| 1 | 1.2% | 3.1% |
| 2 | 1.8% | 4.2% |
| 3 | 2.2% | 5.0% |
| 4 | 1.5% | 4.2% |
您需要找到ABC和XYZ的平均回報（1.675%和4.125%），並從相應的項中減去它們，然後相乘。對每一天這樣做：
- 第一天：(1.2%−1.675%)×(3.1%−4.125%)=0.487(1.2\% – 1.675\%) \times (3.1\% – 4.125\%) = 0.487
- 第二天：(1.8%−1.675%)×(4.2%−4.125%)=0.009(1.8\% – 1.675\%) \times (4.2\% – 4.125\%) = 0.009
- 第三天：(2.2%−1.675%)×(5.0%−4.125%)=0.459(2.2\% – 1.675\%) \times (5.0\% – 4.125\%) = 0.459
- 第四天：(1.5%−1.675%)×(4.2%−4.125%)=−0.013(1.5\% – 1.675\%) \times (4.2\% – 4.125\%) = -0.013
將每一天的結果加總：
0.487+0.009+0.459−0.013=0.9430.487 + 0.009 + 0.459 – 0.013 = 0.943
您的樣本數為四，因此從四中減去一並將前一結果除以它：
0.9433=0.314\frac{0.943}{3} = 0.314
此樣本的共變異數為0.314，這是一個正數，表示這兩支股票的回報相似。
共變異數為0意味著什麼？
共變異數為零表示所測量的變量之間沒有明顯的方向性關係。換句話說，一個股票的高值同樣可能與另一個股票的高值或低值配對。
共變異數與方差的區別
共變異數和方差用於衡量數據集中點的分佈。然而，方差通常用於只有一個變量的數據集，並指示這些數據點如何緊密地圍繞平均值分佈。共變異數則衡量兩個變量之間的關係方向。正的共變異數意味著兩個變量趨向於同時高或低。負的共變異數意味著當一個變量高時，另一個變量趨向於低。
共變異數與相關性的區別
共變異數衡量的是兩個變量之間關係的方向，而相關性衡量的是這種關係的強度。當變量同方向移動時，相關性和共變異數都是正的；當變量反方向移動時，相關性和共變異數都是負的。然而，相關係數必須始終在-1到+1之間，極端值表示強關係。
如何計算共變異數？
對於具有兩個變量的一組數據點，共變異數的測量方法是取每個變量與其平均值的差異。然後將這些差異相乘並在所有數據點中平均。在數學表示法中，這表示為：
結論
共變異數是一種重要的統計指標，用於比較多個變量之間的關係。在投資中，共變異數用於識別有助於分散投資組合的資產。