什麼是間斷機率分布（Discrete Probability Distribution）？
間斷機率分布是一種描述離散（個別可計數）結果發生的概率分布，例如1, 2, 3，是，否，真或假。例如，二項分布是一種間斷機率分布，它評估在給定試驗次數下某事件發生的概率，例如投擲一百次硬幣並得到“正面”的結果。
統計分布可以是離散的或連續的。連續分布是由落在連續體上的結果構成的，例如所有大於0的數（包括小數點無限延伸的數，例如π = 3.14159265…）。總的來說，離散和連續概率分布以及它們所描述的隨機變量是概率論和統計分析的基礎。
主要要點
- 間斷機率分布計數具有可計數或有限結果的事件發生次數。
- 間斷機率分布與連續分布形成對比，連續分布的結果可以落在連續體的任何位置。
- 間斷機率分布的常見示例包括二項分布、泊松分布和伯努利分布。
- 這些分布通常涉及對“計數”或“事件發生次數”的統計分析。
- 在金融領域，間斷機率分布用於期權定價和預測市場衝擊或經濟衰退。
理解間斷機率分布
分布是數據研究中的一個統計概念。那些試圖識別特定研究的結果和概率的人會從數據集中繪製可測量的數據點，從而產生概率分布圖。分布研究可以產生多種概率分布圖形狀，例如正態分布（“鐘形曲線”）。
統計學家可以通過測量結果的性質來識別間斷機率分布或連續分布的發展。與連續並考慮數線上任何可能結果的正態分布不同，間斷機率分布是由只能遵循有限或離散結果集的數據構建的。
因此，間斷機率分布表示具有可計數結果數量的數據，這意味著潛在的結果可以列成一個列表，然後繪製成圖。這個列表可能是有限的或無限的。例如，在確定具有六個編號面的骰子概率分布時，列表是1, 2, 3, 4, 5, 6。如果你擲兩個骰子，擲出兩個六（12）或兩個一（2）的機會比其他組合要少；在圖表上，你會看到這兩個結果的概率由圖表上最小的條形表示。
間斷機率分布的類型
最常見的間斷機率分布包括二項分布、伯努利分布、多項分布和泊松分布。
二項分布
二項概率分布是一種只有兩個結果概率的分布。在這種分布中，數據在重複試驗後以兩種形式之一收集並分類為成功或失敗。它通常只有兩種可能的結果，例如零或一。例如，投擲硬幣會得到列表{正面，反面}。
二項分布用於依賴二項樹的期權定價模型中。在二項樹模型中，基礎資產只能具有兩種可能的確切值——在模型中，每次迭代只有兩個可能的結果——向上移動或向下移動，具有定義的值。
伯努利分布
伯努利分布與二項分布相似，因為只有兩種可能的結果。進行一次試驗，因此伯努利分布中的結果標記為零或一。1表示成功，0表示失敗——一次試驗稱為伯努利試驗。
因此，如果你使用一個綠色彈珠（表示成功）和一個紅色彈珠（表示失敗）在一個蓋住的碗中，並且不看而選擇，你將每次結果記錄為零或一，而不是成功或失敗。伯努利分布用於查看投資成功或失敗的概率。
多項分布
當有超過兩種結果概率且有多次計數時，會出現多項分布。例如，假設你有一個蓋住的碗，裡面有一個綠色、一個紅色和一個黃色彈珠。對於你的測試，你記錄你隨機選擇每個彈珠的次數。
在金融和投資中，這些分布用於估計特定財務事件組合發生的概率。
泊松分布
泊松分布表示在固定時間內發生給定次數事件的概率。
泊松分布是一種間斷機率分布，計算事件發生的頻率為整數，其列表{0, 1, 2, …}可以是無限的。例如，假設你有一個蓋住的碗，裡面有一個紅色和一個綠色彈珠，你選擇的時間段是兩分鐘。你的測試是記錄你選擇綠色或紅色彈珠的次數，其中綠色表示成功。每次測試後，你將彈珠放回碗中並記錄結果。
在這個模型中，分布將在一段時間內繪製結果，顯示綠色被選擇的頻率。
泊松分布常用於模型金融數據，其中計數較小且通常為零。例如，它可以用於模型典型投資者在給定一天內進行的交易數量，這可能是0（經常），1, 2，依此類推。
蒙特卡羅模擬
間斷機率分布也可以在蒙特卡羅模擬中看到。蒙特卡羅模擬是一種通過編程技術確定不同結果概率的建模技術。它主要用於幫助預測情景和識別風險。
在蒙特卡羅模擬中，具有離散值的結果將產生間斷機率分布進行分析。這些分布確定所考慮的不同項目之間的風險和權衡。
間斷機率分布的計算
如何計算間斷機率分布取決於你的測試、你試圖測量的內容以及如何測量。例如，如果你擲兩次硬幣，可能的組合是：
- 反面/反面（TT）
- 正面/反面（HT）
- 反面/正面（TH）
- 正面/正面（HH）
因為你擲兩次硬幣，並且有兩個可能的結果，所以有四種可能性。每個結果代表四分之一的可能性。HT和TH組合各自代表四分之一（並且基本相同），代表一半的結果。因此，四分之一的時間你會得到TT或HH，一半的時間你會得到HT或TH。
這與擲兩個骰子的情況類似，因為骰子擲出的結果是離散的。因為每個骰子有六個面，所以有36種可能性，但不能得到1的結果，因為每個骰子的最低數字是1。所以你可以得到的最低結果是2，最高是12。許多組合會重複，就像硬幣示例一樣——因此重複的可能性越多，繪製的實例就越多。
如下面的表格所示，如果你將骰子擲出的結果相加，你會有一個結果為2和一個結果為12的實例——創造了2和12的概率為1/36。
| 骰子配對擲出結果 | 1 | 2 | 3 |
|---|