布萊克-休斯模型：其定義、運作原理及選擇權公式

布萊克-休斯模型

布萊克-休斯模型（Black-Scholes Model），也稱為布萊克-休斯-莫頓模型（Black-Scholes-Merton Model，BSM），是現代金融理論中最重要的概念之一。該數學方程式基於其他投資工具估算衍生品的理論價值，考慮了時間和其他風險因素的影響。該模型於1973年開發，至今仍被認為是定價期權合約的最佳方法之一。

關鍵要點

• 布萊克-休斯模型（也稱為布萊克-休斯-莫頓模型，BSM）是一個廣泛用於期權合約定價的微分方程。
• 布萊克-休斯模型需要五個輸入變量：期權的行權價、當前股票價格、到期時間、無風險利率和波動率。
• 儘管通常準確，但布萊克-休斯模型做出了一些假設，這些假設可能導致預測與現實世界結果有所偏離。
• 標準的BSM模型僅用於定價歐式期權，因為它沒有考慮美式期權可以在到期日前行使的情況。

布萊克-休斯模型的歷史

布萊克-休斯模型於1973年由費雪·布萊克（Fischer Black）、羅伯特·莫頓（Robert Merton）和邁倫·休斯（Myron Scholes）開發。這是第一個廣泛使用的數學方法，用於計算期權合約的理論價值，使用了當前股票價格、預期股息、期權的行權價、預期利率、到期時間和預期波動率。

最初的方程式在布萊克和休斯於1973年在《政治經濟學雜誌》上發表的論文《期權和公司負債的定價》中介紹。羅伯特·C·莫頓幫助編輯了這篇論文。當年晚些時候，他在《貝爾經濟學與管理科學雜誌》上發表了自己的文章《理性期權定價理論》，擴展了對模型的數學理解和應用，並創造了“布萊克-休斯期權定價理論”這一術語。

1997年，休斯和莫頓因其在找到“確定衍生品價值的新方法”方面的工作而獲得諾貝爾經濟學獎。布萊克於兩年前去世，因此無法獲獎，因為諾貝爾獎不追授；然而，諾貝爾委員會承認了他在布萊克-休斯模型中的作用。

布萊克-休斯模型的運作原理

布萊克-休斯模型假設股票或期貨合約等工具的價格會隨著隨機漫步，具有恆定的漂移和波動率，呈現對數正態分佈。使用這一假設並考慮其他重要變量，方程得出了歐式看漲期權的價格。

布萊克-休斯方程需要五個變量。這些輸入是波動率、基礎資產價格、期權的行權價、期權到期時間和無風險利率。通過這些變量，理論上期權賣家可以為其出售的期權設置合理價格。

此外，該模型預測，交易活躍的資產價格會遵循具有恆定漂移和波動率的幾何布朗運動。當應用於股票期權時，該模型考慮了股票的恆定價格變化、貨幣的時間價值、期權的行權價和期權的到期時間。

布萊克-休斯模型的假設

• 期權存續期間內不支付股息。
• 市場是隨機的（即市場運動不可預測）。
• 購買期權沒有交易成本。
• 基礎資產的無風險利率和波動率是已知且恆定的。
• 基礎資產的回報率呈正態分佈。
• 期權是歐式期權，只能在到期時行使。

雖然原始布萊克-休斯模型未考慮在期權存續期間支付的股息，但該模型經常被調整以考慮股息，方法是確定除息日的基礎股票價值。許多期權賣方市場製造商還通過模型調整來考慮在到期前行使的期權的影響。

相反，對於更常交易的美式期權，公司將使用二叉樹模型或三叉樹模型或比約克松-斯坦斯蘭模型來定價。

布萊克-休斯模型公式

該公式涉及的數學運算很複雜，可能會讓人望而生畏。幸運的是，你不需要知道甚至理解這些數學即可在自己的策略中使用布萊克-休斯模型。期權交易者可以訪問各種在線期權計算器，當今的許多交易平台擁有強大的期權分析工具，包括指標和電子表格，這些工具可以執行計算並輸出期權定價值。

布萊克-休斯看漲期權公式通過將股票價格乘以累積標準正態概率分佈函數計算。隨後，從前一計算結果中減去行權價乘以累積標準正態分佈的現值（NPV）。

數學符號表示為：

𝐶 = 𝑆𝑁(𝑑₁) − 𝐾𝑒^(−𝑟𝑡)𝑁(𝑑₂)
其中：
𝑑₁ = (ln(𝑆/𝐾) + (𝑟 + 𝜎²/2)𝑡) / (𝜎√𝑡)
𝑑₂ = 𝑑₁ − 𝜎√𝑡
其中：
𝐶 = 看漲期權價格
𝑆 = 當前股票（或其他基礎資產）價格
𝐾 = 行權價
𝑟 = 無風險利率
𝑡 = 到期時間
𝑁 = 正態分佈

波動率偏斜

布萊克-休斯模型假設股票價格遵循對數正態分佈，因為資產價格不能為負（受零限制）。

通常，資產價格被觀察到具有顯著的右偏和一定程度的峰度（肥尾）。這意味著高風險的向下移動在市場中發生的頻率比正態分佈預測的要高。

假設對數正態基礎資產價格應該顯示根據布萊克-休斯模型，每個行權價的隱含波動率是相似的。然而，自1987年市場崩盤以來，平價期權的隱含波動率比價外或價內期權的隱含波動率低。這一現象的原因是市場在定價中考慮了市場向下波動的高波動性可能性。

這導致了波動率偏斜的存在。當將具有相同到期日的期權的隱含波動率繪製在圖表上時，可以看到一個微笑或偏斜的形狀。因此，布萊克-休斯模型在計算隱含波動率方面並不高效。

布萊克-休斯模型經常與二叉樹模型或蒙特卡洛模擬進行對比。

布萊克-休斯模型的優勢

由於布萊克-休斯模型具有多種優勢，許多金融專業人士成功地實施並使用了該模型。以下列出了一些優勢：

• 提供框架：布萊克-休斯模型為期權定價提供了一個理論框架。這使投資者和交易者可以使用結構化的、定義明確的方法來確定期權的公平價格。
• 允許風險管理：通過了解期權的理論價值，投資者可以使用布萊克-休斯模型來管理他們對不同資產的風險敞口。因此，布萊克-休斯模型對於投資者來說，不僅在評估潛在回報方面有用，還有助於了解投資組合的弱點和不足之處。
• 允許投資組合優化：布萊克-休斯模型可以用來優化投資組合，提供不同期權的預期回報和風險的衡量標準。這使得投資者可以做出更符合其風險承受能力和利潤追求的更聰明的選擇。
• 提高市場效率：布萊克-休斯模型提高了市場效率和透明度，因為交易者和投資者更能夠定價和交易期權。這簡化了定價過程，因為對價格來源有更大的隱含理解。
• 簡化定價：同樣，布萊克-休斯模型被金融行業的從業者廣泛接受和使用。這允許在不同市場和司法管轄區之間具有更大的一致性和可比性。

布萊克-休斯模型的限制

儘管布萊克-休斯模型被廣泛使用，但該模型仍存在一些缺點；以下列出了一些缺點：

• 限制用途：如前所述，布萊克-休斯模型僅用於定價歐式期權，並未考慮美式期權可以在到期日前行使的情況。
• 缺乏現金流靈活性：該模型假設股息和無風險利率是恆定的，但這在現實中可能不成立。因此，由於模型的剛性，布萊克-休斯模型可能缺乏真正反映投資未來現金流的能力。
• 假設波動率恆定：該模型還假設波動率在期權的整個生命期內保持不變。實際上，這通常不是這樣，因為波動率隨供需水平而波動。
• 誤導其他假設：布萊克-休斯模型還利用了其他假設。這些假設包括無交易成本或稅收、無風險利率對所有到期日都是恆定的、允許使用收益進行證券的短賣、沒有無風險套利機會。每一個這樣的假設都可能導致價格與實際結果偏離。

布萊克-休斯模型的優勢和限制

布萊克-休斯模型的作用

布萊克-休斯模型（也稱為布萊克-休斯-莫頓模型，BSM）是第一個廣泛使用的期權定價模型。基於對資產價格行為的某些假設，該方程根據已知變量（如當前價格、到期日和行權價）計算歐式看漲期權的價格。

它通過從股票價格和累積標準正態概率分佈函數的乘積中減去行權價乘以累積標準正態分佈的現值來實現這一目標。

布萊克-休斯模型的輸入

布萊克-休斯方程的輸入是波動率、基礎資產價格、期權的行權價、期權到期時間和無風險利率。通過這些變量，理論上期權賣家可以為其出售的期權設置合理價格。

布萊克-休斯模型的假設

原始布萊克-休斯模型假設期權是歐式期權，只能在到期時行使。它還假設期權存續期間內不支付股息；市場運動不可預測；購買期權沒有交易成本；基礎資產的無風險利率和波動率是已知且恆定的；基礎資產的價格遵循對數正態分佈。

布萊克-休斯模型的限制

布萊克-休斯模型僅用於定價歐式期權，並未考慮美式期權可以在到期日前行使的情況。此外，該模型假設股息、波動率和無風險利率在期權的整個生命期內保持不變。

不考慮稅收、佣金、交易成本或稅收的情況下，還可能導致估值與現實世界的結果有所偏離。

總結

布萊克-休斯模型是一種用於計算公平價格或理論價值的數學模型。它提供了一種方法，通過考慮基礎資產的當前價格、期權的行權價、到期時間、無風險利率和基礎資產的波動率來計算期權的理論價值。布萊克-休斯模型對金融產生了深遠的影響，並促使了一系列衍生產品如期貨、互換和期權的發展。