什麼是複利(compounding interest)？
複利是指資產的收益（無論是資本收益還是利息）被再投資以在一段時間內產生額外收益的過程。這種增長是使用指數函數計算的，因為投資不僅會從其初始本金中產生收益，還會從前期積累的收益中產生收益。
因此，複利不同於線性增長，其中每期僅本金產生利息。
關鍵要點
- 複利是指利息既計入現有本金，又計入已支付的利息。
- 複利可以被解釋為“利息上的利息”——其效果是隨著時間推進放大收益，這就是所謂的“複利奇蹟”。
- 當銀行或金融機構計算複利時，會使用例如年度、月度或每日的複利期。
- 複利可以發生在儲蓄增長更快的投資中，或者在即使在還款的情況下仍可能增長的債務中。
- 複利自然發生在儲蓄賬戶中；一些產生股息的投資也可能受益於複利。
理解複利
複利通常指由於本金和累積利息所賺取的利息而增加的資產價值。這種現象是貨幣時間價值（TMV）概念的直接實現，也稱為複利。
複利在金融中至關重要，其效果帶來的收益是許多投資策略背後的動機。例如，許多公司提供股息再投資計劃（DRIP），允許投資者將現金股息再投資以購買額外的股票。重新投資這些支付股息的股票會使投資者的回報複利增長，因為股票數量的增加將持續增加未來的股息收入，假設股息穩定。
在股息增長股上再投資股息會為這一策略增加另一層複利，一些投資者稱之為雙重複利。在這種情況下，不僅股息被再投資以購買更多的股票，這些股息增長股也在增加每股的股息支付。
複利公式
當前資產的未來價值（FV）公式依賴於複利的概念。它考慮了資產的現值、年度利率、每年複利的頻率（或複利期數）以及總年數。複利的一般公式為：
FV = PV × (1 + i/n)^(nt)
其中：
- FV = 未來價值
- PV = 現值
- i = 年利率
- n = 每個時間段的複利期數
- t = 時間段
這個公式假設除了利息外，對原始本金餘額沒有進行其他變動。
536,870,912
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增加複利期
隨著複利頻率的增加，複利效果加強。假設一年的時間段。這一年中的複利期數越多，投資的未來價值就越高；自然，每年兩個複利期比一個好，每年四個複利期比兩個好。
為了說明這一效果，請考慮上述公式給出的以下示例。假設100萬美元的投資每年賺取20%的利潤。根據不同的複利期數，得出的未來價值如下：
- 年度複利（n = 1）：FV = $1,000,000 × [1 + (20%/1)]^(1 x 1) = $1,200,000
- 半年複利（n = 2）：FV = $1,000,000 × [1 + (20%/2)]^(2 x 1) = $1,210,000
- 季度複利（n = 4）：FV = $1,000,000 × [1 + (20%/4)]^(4 x 1) = $1,215,506
- 每月複利（n = 12）：FV = $1,000,000 × [1 + (20%/12)]^(12 x 1) = $1,219,391
- 每週複利（n = 52）：FV = $1,000,000 × [1 + (20%/52)]^(52 x 1) = $1,220,934
- 每日複利（n = 365）：FV = $1,000,000 × [1 + (20%/365)]^(365 x 1) = $1,221,336
顯然，即使每年的複利期數顯著增加，未來價值也只增加了很小的幅度。在設定的時間段內，複利頻率對投資增長的影響有限。這個基於微積分的極限被稱為連續複利，可以使用公式計算：
FV = P × e^(rt)
其中：
- e = 不理性數字2.7183
- r = 利率
- t = 時間
在上述示例中，連續複利的未來價值為：FV = $1,000,000 × 2.7183^(0.2 x 1) = $1,221,403。
複利是一個“雪球效應”的例子，其中一個小意義的情況在自身基礎上不斷增長成為一個更大、更嚴重的狀態。
投資與債務上的複利
複利適用於資產和負債。雖然複利能更快地提高資產的價值，但它也會增加貸款欠款，因為未付本金和先前利息費用上的利息累積。即使你償還貸款，複利利息可能會導致未來期間的欠款金額增加。
複利的概念對信用卡餘額特別有問題。不僅信用卡債務的利率高，而且利息費用可能會被加到本金餘額中，未來還會對其本身進行利息評估。因此，複利的概念不一定是“好”或“壞”。複利的效果對於投資者而言，取決於他們具體的財務狀況。
複利的例子
為了說明複利是如何運作的，假設$10,000被存入一個年利率5%的賬戶。在第一年或複利期結束後，賬戶總額增加到$10,500，這簡單反映了$10,000本金上增加的$500利息。在第二年，賬戶在原始本金和第一年$500利息上實現了5%的增長，結果是第二年收益$525，餘額為$11,025。
複利的例子
| 複利期 | 起始餘額 | 利息 | 結束餘額 |
|---|---|---|---|
| 1 | $10,000.00 | $500.00 | $10,500.00 |
| 2 | $10,500.00 | $525.00 | $11,025.00 |
| 3 | $11,025.00 | $551.25 | $11,576.25 |
| 4 | $11,576.25 | $578.81 | $12,155.06 |
| 5 | $12,155.06 | $607.75 | $12,762.82 |
| 6 | $12,762.82 | $638.14 | $13,400.96 |
| 7 | $13,400.96 | $670.05 | $14,071.00 |
| 8 | $14,071.00 | $703.55 | $14,774.55 |
| 9 | $14,774.55 | $738.73 | $15,513.28 |
| 10 | $15,513.28 | $775.66 | $16,288.95 |
$10,000 投資獲得5%的複利利息
假設10年內沒有提款且利率保持穩定在5%，賬戶將增長到$16,288.95。除了利息外，未對本金餘額進行任何添加或減少，複利的影響使得餘額從第一期的$500增加到第十期的$775.66。
此外，在沒有新增投資的情況下，我們的投資在10年內增長了$6,288.95。如果投資僅支付簡單利息（僅對原始投資支付5%的年利率），10年內的年利息僅為$5,000（每年$500）。
什麼是72法則？
72法則是一種用於估算在複利（或複利回報）情況下投資或儲蓄翻倍所需時間的簡便方法。該法則指出，翻倍所需的年數是72除以利率。如果複利利率為5%，則約需14年5個月翻倍。
簡單利息與複利的區別是什麼？
簡單利息僅對投資或存款的本金支付利息。例如，如果存入$1,000並獲得5%的簡單利息，每年將賺取$50。而複利則支付“利息上的利息”，因此在第一年將獲得$50，但在第二年將獲得$52.5（$1,050 × 0.05），以此類推。
如何複利增長我的資金？
除了複利利息外，投資者還可以通過再投資股息來獲得複利回報。這意味著將收到的現金股息用來購買公司的額外股票——這些股票將在未來也支付股息。
哪種類型的平均值最適合複利？
財務中有不同類型的平均值（均值）計算。在計算具有複利的投資或儲蓄賬戶的平均回報時，最好使用幾何平均值。在財務中，這有時被稱為時間加權平均回報或複合年增長率（CAGR）。
複利的最佳例子是什麼？
高收益儲蓄賬戶是一個很好的複利例子。假設你在儲蓄賬戶中存入$1,000。在第一年，你將賺取一定數額的利息。如果你從未花費賬戶中的任何資金，並且利率至少保持與前一年相同，則你在第二年賺取的利息將更高。這是因為儲蓄賬戶將已賺取的利息加到現金餘額中，使其有資格賺取利息。
結論
愛因斯坦曾將複利稱為世界第八大奇蹟，複利和複利利息在塑造投資者的財務成功中發揮了非常重要的作用。如果你利用複利，你將更快地賺取更多的錢。如果你承擔複利債務，你將陷入不斷增長的債務餘額中。通過複利，財務餘額能夠比直線利息更快地指數增長。