貝氏定理
貝氏定理，以18世紀英國數學家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）命名，是一種用於確定條件概率的數學公式。條件概率是指在類似情況下基於先前結果發生的結果的可能性。貝氏定理提供了一種在給定新的或額外證據的情況下修正現有預測或理論（更新概率）的方法。
在金融領域，貝氏定理可以用來評估向潛在借款人貸款的風險。該定理也被稱為貝氏法則或貝氏規則，是貝葉斯統計學領域的基礎。
關鍵要點
- 貝氏定理允許您通過引入新信息來更新事件的預測概率。
- 貝氏定理以18世紀數學家托馬斯·貝葉斯命名。
- 它經常用於金融領域以計算或更新風險評估。
- 由於執行其運算需要大量計算能力，該定理在兩個世紀內未被使用。
理解貝氏定理
貝氏定理的應用範圍廣泛，並不僅限於金融領域。例如，貝氏定理可以用來通過考慮任何人患病的可能性和測試的準確性來確定醫學測試結果的準確性。貝氏定理依賴於引入先驗概率分佈以生成後驗概率。
在貝葉斯統計推斷中，先驗概率是指在收集新數據之前事件發生的概率。換句話說，它代表了在進行實驗之前基於當前知識對特定結果發生的最佳理性評估。
後驗概率是考慮新信息後事件發生的修正概率。後驗概率是通過使用貝氏定理更新先驗概率計算出來的。從統計角度來看，後驗概率是指事件A在事件B發生的情況下發生的概率。
特殊考量
因此，貝氏定理給出了基於可能與該事件相關的新信息的事件發生的概率。該公式還可以用來確定假設新信息會成為真實信息時事件發生的概率會如何受到影響。
例如，考慮從一副完整的52張牌中抽出一張牌。
牌堆中有四張國王牌，因此牌是一張國王牌的概率是4除以52，等於1/13，或大約7.69%。現在，假設揭示所選牌是一張人面牌。給定所選牌是一張人面牌，則所選牌是一張國王牌的概率是4除以12，或大約33.3%，因為牌堆中有12張人面牌。
貝氏定理公式
𝑃(𝐴∣𝐵) = 𝑃(𝐴⋂𝐵) / 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵∣𝐴) / 𝑃(𝐵)
其中：
𝑃(𝐴) = 事件A發生的概率
𝑃(𝐵) = 事件B發生的概率
𝑃(𝐴∣𝐵) = 給定事件B發生的情況下事件A發生的概率
𝑃(𝐵∣𝐴) = 給定事件A發生的情況下事件B發生的概率
𝑃(𝐴⋂𝐵) = 事件A和事件B同時發生的概率
貝氏定理的例子
以下是貝氏定理的兩個例子。第一個例子顯示了如何從使用亞馬遜公司（Amazon.com Inc.，AMZN）的股票投資例子中推導出該公式。第二個例子將貝氏定理應用於製藥測試。
推導貝氏定理公式
貝氏定理簡單地從條件概率的公理中推導出來，即在另一事件發生的情況下事件發生的概率。例如，一個簡單的概率問題可能會問：“亞馬遜公司的股價下跌的概率是多少？”條件概率進一步問：“給定道瓊斯工業平均指數（DJIA）之前下跌，AMZN股價下跌的概率是多少？”
給定B發生的情況下A的條件概率可以表示為：
如果A是：“AMZN價格下跌”，則P(AMZN)是AMZN下跌的概率；B是：“道瓊斯已經下跌”，P(DJIA)是道瓊斯下跌的概率；則條件概率表達式為“給定道瓊斯指數下跌的情況下，AMZN下跌的概率等於AMZN價格下跌和道瓊斯下跌的概率除以道瓊斯指數下跌的概率。”
P(AMZN|DJIA) = P(AMZN和DJIA) / P(DJIA)
P(AMZN和DJIA)是A和B同時發生的概率。這與A發生的概率乘以B在A發生的情況下發生的概率，即P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)相同。這兩個表達式相等導致貝氏定理，其表達為：
如果：P(AMZN和DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)
則：P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA)
P(AMZN)和P(DJIA)是亞馬遜和道瓊斯指數彼此獨立下跌的概率。
該公式解釋了在看到證據之前的假設概率P(AMZN)與在獲得證據後的假設概率P(AMZN|DJIA)之間的關係，給定道瓊斯的證據為亞馬遜的假設。
貝氏定理的數值示例
作為一個數值示例，假設有一種藥物測試準確率為98%，這意味著98%的時間對於服用該藥物的人會顯示出真陽性結果，98%的時間對於未服用該藥物的人會顯示出真陰性結果。接下來，假設0.5%的人使用該藥物。如果隨機選擇的一個人藥檢呈陽性，可以進行以下計算來確定該人實際使用該藥物的概率，其中術語如下：
- A = 陽性測試結果為真的概率
- B = 使用該藥物的人的百分比
- A x B = 陽性測試結果為真的概率
- (1 – A) x (1 – B) = 陰性測試結果為真的概率
該公式如下：
(A x B) / [(A x B) + {(1 – A) x (1 – B)}] = 使用該藥物的概率
使用這些值，計算結果如下：
(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + {(1 – 0.98) x (1 – 0.005)}] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%
貝氏定理顯示，即使在這種情況下測試結果呈陽性，也有19.76%的可能性該人使用該藥物，而有80.24%的可能性該人不使用該藥物。
貝氏法則的用途是什麼？
貝氏法則用於通過更新的條件變量來更新概率。投資分析師用它來預測股市中的概率，但它也被應用於許多其他行業。
為什麼貝氏定理如此強大？
從數學上來說，它表明兩個概率是相等的。用於統計、投資或其他行業，它允許您查看條件概率。
如何知道何時使用貝氏定理？
如果您需要確定在另一個條件存在的情況下發生某事的概率，該條件可能影響發生率，則應使用貝氏定理。
總結
最簡單地說，貝氏定理將測試結果與給定其他相關事件的測試結果的條件概率聯繫起來。對於高概率假陽性的情況，該定理提供了更合理的特定結果可能性。